Hva er en determinant?

Matriser er matematiske objekter som transformerer former.Determinanten for en firkantet matrise A, betegnet | a |, er et tall som oppsummerer effekten A har på en figurs størrelse og orientering.Hvis [ A B ] er den øverste radvektoren for A og [ C D ] er dens nederste radvektor, så | A |' AD-BC .

En determinant koder for nyttig informasjon om hvordan en matrise transformerer regioner.Den absolutte verdien av determinanten indikerer matrisenes skalafaktor, hvor mye den strekker seg eller krymper en figur.Tegnet beskriver om matrisen vipper figurer over, og gir et speilbilde.Matriser kan også skjule regioner og rotere dem, men denne informasjonen er ikke gitt av determinanten.

Aritmetisk bestemmes den transformerende virkningen av en matrise ved matriksmultiplikasjon.Hvis A er en 2 ganger;2 Matrise med øverste rad [ A B ] og nederste rad [ C D ], deretter [1 0] * A ' [ A B ] og [0 1] * A ' [ C D ].Dette betyr at A tar poenget (1,0) til punktet ( A, B ) og punktet (0,1) til poenget ( C, D ).Alle matriser lar opprinnelsen være ikke flyttet, så man ser at en forvandler trekanten med endepunkter ved (0,0), (0,1) og (1,0) til en annen trekant med endepunkter på (0,0), (A, B ) og ( C, D ).Forholdet mellom dette nye trekantets område og den opprinnelige trekanten er lik | ad-bc |, den absolutte verdien av | a |.

Tegnet på en matriks determinant beskriver om matrisen vipper en form over.Tatt i betraktning trekanten med endepunkter ved (0,0), (0,1) og (1,0), hvis en matrise A holder poenget (0,1) stasjonær mens du tar poenget (1,0) til poenget(-1,0), så har den snudd trekanten over linjen x ' 0. Siden a har snudd figuren over, | a |vil være negativ.Matrisen endrer ikke størrelsen på et område, så | a |må være -1 for å være i samsvar med regelen om at den absolutte verdien av | a |Beskriver hvor mye en strekker seg en figur.

Matrise Aritmetikk følger den assosiative loven, noe som betyr at ( V *a)*b ' V *(a*b).Geometrisk betyr dette at kombinert virkning av første transformering av en form med matrise A og deretter transformerer formen med matrise B tilsvarer å transformere den opprinnelige formen med produktet (A*B).Man kan trekke fra denne observasjonen at | a |*| b |' | A*b |.

Ligningen | A |* | B |' | A*b |har en viktig konsekvens når | a |' 0. I så fall kan ikke handlingen av A ugjort av noen annen matrise B. Dette kan trekkes ved å merke seg at hvis a og b var inverser, så (a*b) verken strekker eller vipper noen region, så | a*B |' 1. Siden | A |* | B |' | A * b |, denne siste observasjonen fører til den umulige ligningen 0 * | b |' 1.

Det omvendte kravet kan også vises: Hvis A er en firkantet matrise med ikke -determinant, har A en invers .Geometrisk er dette handlingen til enhver matrise som ikke flater ut et område.For eksempel kan det å klemme et firkant inn i et linjesegment angrepet av en annen matrise, kalt dens inverse.En slik omvendt er matriksanalogen til en gjensidig.